EJERCICIOS DE VECTORES Y RECTAS

EJERCICIOS DE VECTORES Y LA RECTA

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRIA

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRIA

Video sobre las razones trigonometricas

DEFINCICIONES BASICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

  Las funciones  y = sin x,  y = cos x,  y = tg x.

  Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.

   Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:

    El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
    El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa.
    La  tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
    La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.

Veamos las razones de los angulos mas importantes:

 

HISTORIA DE LA TRIGONOMÉTRIA

Los avances de las Matemáticas no han sido fruto del trabajo de una persona sino de la aportación de muchos matemáticos y de varias civilizaciones.

La trigonometría que nosotros estudiamos en un poco tiempo tardó en desarrollarse muchos siglos hasta llegar a su forma actual.

Vamos a analizar aquí un poco de su historia y de las aportaciones que a ella han hecho algunas civilizaciones y algunos matemáticos.

SIGLO X a.C.

Hace más de 3.000 años, ya se comenzó a usar la trigonometría en la civilizaciones egipcia y babilónica.

En Babilonia se usaba para realizar medidas en la agricultura, y en el Antiguo Egipto se utilizó además en la construcción de las pirámides.

También fue aplicada a los primeros estudios de astronomía, en la realización de calendarios y el cálculo del tiempo, y en la navegación. Los egipcios fueron los que establecieron el sistema sexagesimal, midiendo los ángulos en grados, minutos y segundos.

En el Antiguo Egipto se alcanza un notable desarrollo en la aritmética y la geometría, por la necesidad de calcular correctamente la superficie de los campos tras la inundación anual. También sabían calcular volúmenes, como el de la pirámide y el tronco de  pirámide. La construcción de los monumentos de esta época implica amplios conocimientos de estas ciencias. 

Siglo II a.C.

Los conocimientos de los pueblos anteriores pasaron a Grecia, donde continuó su desarrollo. Allí, el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea que vivió aproximadamente entre los años 190 y 120 a.C. fue el padre de la trigonometría. Hiparco construyó una tabla de cuerdas, que equivale a la moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano.

Siglo II 

Pasan casi 300 años, para que otro matemático y astrónomo griego continuara el trabajo de Hiparco, Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.). Aunque de origen griego Ptolomeo vivió y trabajó en Alejandría y en Egipto. Creó una nueva tabla de cuerdas con un error menor que 1/3600, utilizando para ello una circunferencia de radio 60. Junto con la tabla explicaba cómo obtenerla e incluso da ejemplos sobre cómo usarla para resolver triángulos rectángulos. También aplicó sus teorías trigonométricas a la construcción de relojes de sol y de astrolabios.

En la India, paralelamente a los avances de la matemática griega, desarrollan un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de en cuerdas, la función seno no era concebida como una proporción tal y como la definimos ahora, sino como la longitud del cateto opuesto a un ángulo de un triángulo rectángulo. Así construyeron diversas tablas para la función seno.

Siglo X

No podía faltar en el desarrollo de la trigonometría la civilización árabe. A partir del siglo VIII los matemáticos árabes continúan los trabajos de las civilizaciones griega e india. Adoptando el concepto de la función seno.Tal fueron sus avances que en el siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco razones trigonométricas: coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

A ellos se debe también el tomar como radio r=1 en la circunferencia goniométrica para obtener las razones trigonométricas.Destacan también por la exactitud de sus cálculos, por ejemplo, la tabla con los valores del seno de un ángulo, obtenidas para grados y minutos tienen un error menor a 1.5 · 10^-8.

Siglo XV

La trigonometría llega a occidente a partir del siglo XII y a través de la cultura árabe.Pero no es hasta el siglo XV cuando se realiza el primer trabajo importante sobre este tema.

Fue el matemático alemán Johann Müller (1436-1476), conocido como Regiomontano, el que escribe las primeras obras sobre trigonometría, tan importantes que es considerado como un fundador de esta parte de las matemáticas. Su obra “De Triangulis Omnimodis”, está comupesta de cinco libros, en el primero da las definiciones básicas: cantidad, ratio, igualdad, círculos, arcos, cuerdas, y la función seno. Proporciona algunos axiomas que proporcionarán el sustento de los 56 teoremas que enunciará. En el segundo de los libros establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de algunos problemas con triángulos. Determina el área de un triángulo mediante el conocimiento de dos lados y el ángulo que los sustenta. Los libros III, IV y V tratan de trigonometría esférica centrando el tema para las posteriores obras de astronomía.  Posteriormente calcula dos tablas de senos, en la primera emplea una división sexagesimal y en la segunda calcula los senos de un ángulo empleando una división decimal.

Siglo XVI

Georges Joachim, conocido como Rético (1514-1576), introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.

En esa misma época, el matemático francés François Viète (1540-1603), introduce la trigonometría esférica.

Siglo XVII

A principios de este siglo se produce una gran avance de los cálculos trigonométricos gracias al matemático escocés John Napier (1550-1617), inventor de los logaritmos que simplificaron notablemente el cálculo y que planteó diversos métodos para la resolución de triángulos esféricos.

Siglo XVIII

Sir Isaac Newton (1643-1727), inventó el cálculo diferencial e integral, que permitió representar muchas funciones matemáticas, entre ellas las trigonométricas mediante potencias. Con la invención del Cálculo, la trigonometría pasa a formar parte del Análisis Matemático, donde hoy juega un papel fundamental.

Leonhard Euler (1707-1783), matemático suizo,   fundó la trigonometría moderna, introdujo la notación actual de las funciones trigonométricas, popularizó el uso de la letra griega π, introdujo el uso de la función exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas, demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría.